Public Key Cryptography (การเข้ารหัสของ public key)
ระบบเข้ารหัสของ public key ถูกคิดค้นขึ้นในทศวรรษ 1970 มาจากรากฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับความปลอดภัยของคอมพิวเตอร์และข้อมูลสมัยใหม่
นับตั้งแต่การคิดค้นระบบเข้ารหัส public key ได้มีการค้นพบฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมหลายอย่าง เช่น การยกกำลังของจำนวนเฉพาะและการคูณของเส้นโค้งวงรี โดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เหล่านี้สามารถคำนวณได้ง่ายในทิศทางหนึ่ง แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณในทิศทางตรงกันข้ามโดยใช้คอมพิวเตอร์และอัลกอริทึมที่มีอยู่ในปัจจุบัน จากฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ การเข้ารหัสลับช่วยให้สามารถสร้างลายเซ็นดิจิทัลที่ไม่สามารถปลอมแปลงได้และบิตคอยน์ได้ใช้การบวกและการคูณของเส้นโค้งวงรีเป็นพื้นฐานสำหรับการเข้ารหัสลับของมัน
ในบิตคอยน์ เราสามารถใช้ระบบเข้ารหัส public key เพื่อสร้างคู่กุญแจที่ควบคุมการเข้าถึงบิตคอยน์ คู่กุญแจประกอบด้วย private key และ public key ที่ได้มาจาก private key public keyใช้สำหรับรับเงิน และ private key ใช้สำหรับลงนามในธุรกรรมเพื่อใช้จ่ายเงิน
ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่าง public key และ private key ที่ช่วยให้ private key สามารถใช้สร้างลายเซ็นบนข้อความได้ ลายเซ็นเหล่านี้สามารถตรวจสอบความถูกต้องกับ public key ได้โดยไม่เปิดเผย private key
TIP: ในการใช้งานซอฟแวร์กระเป๋าเงินบิตคอยน์บสงอัน จะทำการเก็บ private key และ public key ถูกเก็บไว้ด้วยกันในรูปแบบคู่กุญแจเพื่อความสะดวก แต่อย่างไรก็ตาม public key สามารถคำนวณได้จาก private key ดังนั้นการเก็บเพียง private key เท่านั้นก็เป็นไปได้เช่นกัน
bitcoin wallet มักจะทำการรวบรวมคู่กุญแต่ละคู่ ซึ่งจะประกอบไปด้วย private key และ public key โดย private key จะเป็นตัวเลขที่ถูกสุ่มเลือกขึ้นมา และเราขะใช้เส้นโค้งวงรี ซึ่งเป็นฟังก์ชันการเข้ารหัสทางเดียว เพื่อสร้าง public key ขึ้นมา
ทำไมจึงใช้การเข้ารหัสแบบอสมมาตร
ทำไมการเข้ารหัสแบบอสมมาตรจึงถูกใช้บิตคอยน์? มันไม่ได้ถูกใช้เพื่อ "เข้ารหัส" (ทำให้เป็นความลับ) ธุรกรรม แต่คุณสมบัติที่มีประโยชน์ของการเข้ารหัสแบบอสมมาตรคือความสามารถในการสร้าง ลายเซ็นดิจิทัล private key สามารถนำไปใช้กับธุรกรรมเพื่อสร้างลายเซ็นเชิงตัวเลข ลายเซ็นนี้สามารถสร้างได้เฉพาะโดยผู้ที่มีความเกี่ยวข้องกับ private key เท่านั้น แต่อย่างไรก็ตาม ทุกคนที่สามารถเข้าถึง public key และธุรกรรมสามารถใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อ ตรวจสอบ ลายเซ็นได้ คุณสมบัติที่มีประโยชน์นี้ของการเข้ารหัสแบบอสมมาตรทำให้ทุกคนสามารถตรวจสอบลายเซ็นทุกรายการในทุกธุรกรรมได้ ในขณะที่มั่นใจว่าเฉพาะเจ้าของ private key เท่านั้นที่สามารถสร้างลายเซ็นที่ถูกต้องได้
Private Keys
private key เป็นเพียงตัวเลขที่ถูกสุ่มขึ้น และการควบคุม private key ก็เป็นรากฐานสำคัญที่ทำให้เจ้าชองกุญแจดอกนี้สามารถควบคุมบิตคอยน์ทั้งหมดที่มีความเกี่ยวข้องกับ public key ที่คู่กัน private key นั้นใช้ในการสร้างลายเซ็นดิจิทัลที่ใช้ในการเคลื่อนย้ายบิตคอยน์ เราจำเป็นต้องเก็บ private key ให้เป็นความลับตลอดเวลา เพราะการเปิดเผยมันให้กับบุคคลอื่นนั้นก็เปรียบเสมือนกับการนำอำนาจในการควบคุมบิตคอยน์ไปให้แก่เขา นอกจากนี้ private key ยังจำเป็นต้องได้รับการสำรองข้อมูลและป้องกันจากการสูญหายโดยไม่ตั้งใจ เพราะหากเราได้ทำมันสูญหายไป จะไม่สามารถกู้คืนได้ และบิตคอยน์เหล่านั้นจะถูกปกป้องโดยกุญแจที่หายไปนั้นตลอดกาลเช่นกัน
TIP: private key ของบิตคอยน์นั้นเป็นเพียงแค่ตัวเลข คุณสามารถสร้างมันได้โดยใช้เพียงเหรียญ ดินสอ และกระดาษ โดยการโยนเหรียญเพียง 256 ครั้งจะทำให้คุณได้เลขฐานสองที่สามารถใช้เป็น private key ของบิตคอยน์ จากนั้นคุณสามารถใช้มันในการคำนวณหา public key แต่อย่างไรก็ตาม โปรดระมัดระวังเกี่ยวกับการเลือใช้วิธีการสุ่มที่ไม่สมบูรณ์ เพราะนั่นอาจลดความปลอดภัยของ private key และบิตคอยน์ที่มัมปกป้องอยู่อย่างมีนัยสำคัญ
ขั้นตอนแรกและสำคัญที่สุดในการสร้างกุญแจคือการหาแหล่งที่มาของความสุ่มที่ปลอดภัย (ซึ่งเรียกว่า เอนโทรปี) การสร้างกุญแจของบิตคอยน์นั้นเกือบเหมือนกับ "เลือกตัวเลขระหว่าง 1 และ 2^256" ซึ่งวิธีที่แน่นอนที่คุณใช้ในการเลือกตัวเลขนั้นไม่สำคัญตราบใดที่มันไม่สามารถคาดเดาหรือทำซ้ำได้ โดยปกติแล้วซอฟต์แวร์ของบิตคอยน์มักจะใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มที่มีความปลอดภัยทางการเข้ารหัสเพื่อสร้างเอนโทรปี 256 บิต
สิ่งที่สำคัญในเรื่องนี้คือ private key สามารถเป็นตัวเลขใดๆ ระหว่าง 0 และ n - 1 (รวมทั้งสองค่า) โดยที่ n เป็นค่าคงที่ (n = 1.1578 × 10^77 ซึ่งน้อยกว่า 2^256 เล็กน้อย) ซึ่งกำหนดอยู่ใน elliptic curve ที่ใช้ใน Bitcoin ในการสร้างกุญแจดังกล่าว เราสุ่มเลือกเลขขนาด 256 บิตและตรวจสอบว่ามันน้อยกว่า n ในแง่ของการเขียนโปรแกรม โดยปกติแล้วสิ่งนี้ทำได้โดยการป้อนสตริงของบิตสุ่มที่ใหญ่กว่า ซึ่งรวบรวมจากแหล่งที่มาของความสุ่มที่มีความปลอดภัยทางการเข้ารหัส เข้าไปในอัลกอริทึมแฮช SHA256 ซึ่งจะสร้างค่าขนาด 256 บิตที่สามารถตีความเป็นตัวเลขได้อย่างสะดวก หากผลลัพธ์น้อยกว่า n เราจะได้กุญแจส่วนตัวที่เหมาะสม มิฉะนั้น เราก็เพียงแค่ลองอีกครั้งด้วยตัวเลขสุ่มอื่น
คำเตือน: อย่าเขียนโค้ดของคุณเองเพื่อสร้างตัวเลขสุ่ม หรือใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่ม "แบบง่าย" ที่มีให้ในภาษาโปรแกรมของคุณ ใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมที่มีความปลอดภัยทางการเข้ารหัส (CSPRNG) จากแหล่งที่มีเอนโทรปีเพียงพอ ศึกษาเอกสารของไลบรารีตัวสร้างตัวเลขสุ่มที่คุณเลือกเพื่อให้มั่นใจว่ามีความปลอดภัยทางการเข้ารหัส การใช้งาน CSPRNG ที่ถูกต้องมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อความปลอดภัยของกุญแจ
ต่อไปนี้คือกุญแจส่วนตัว (k) ที่สร้างขึ้นแบบสุ่มซึ่งแสดงในรูปแบบเลขฐานสิบหก (256 บิตแสดงเป็น 64 หลักเลขฐานสิบหก โดยแต่ละหลักคือ 4 บิต):
```
1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD
```
TIP: จำนวนที่เป็นไปได้ของ private key ทั้งหมดนั้นมีอยู่ 2^256 เป็นตัวเลขที่ใหญ่มากจนยากจะจินตนาการได้ มันมีค่าประมาณ 10^77 (เลข 1 ตามด้วยเลข 0 อีก 77 ตัว) ในระบบเลขฐานสิบ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ลองเปรียบเทียบกับจักรวาลที่เรามองเห็นได้ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ประมาณการว่ามีอะตอมทั้งหมดประมาณ 10^80 อะตอม นั่นหมายความว่าช่วงค่าของกุญแจส่วนตัว Bitcoin มีขนาดใกล้เคียงกับจำนวนอะตอมทั้งหมดในจักรวาลที่เรามองเห็นได้
การอธิบายเกี่ยวกับวิทยาการเข้ารหัสแบบเส้นโค้งวงรี (Elliptic Curve Cryptography)
วิทยาการเข้ารหัสแบบเส้นโค้งวงรี (ECC) เป็นประเภทหนึ่งของการเข้ารหัสแบบอสมมาตรหรือ public key ซึ่งอาศัยหลักการของปัญหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่อง โดยแสดงออกผ่านการบวกและการคูณบนจุดต่างๆ ของเส้นโค้งวงรี
บิตคอยน์ใช้เส้นโค้งวงรีเฉพาะและชุดค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ตามที่กำหนดไว้ในมาตรฐานที่เรียกว่า secp256k1 ซึ่งกำหนดโดยสถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ (NIST) เส้นโค้ง secp256k1 ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันต่อไปนี้ ซึ่งสร้างเส้นโค้งวงรี: y² = (x³ + 7) บนฟิลด์จำกัด (F_p) หรือ y² mod p = (x³ + 7) mod p
โดยที่ mod p (มอดูโลจำนวนเฉพาะ p) แสดงว่าเส้นโค้งนี้อยู่บนฟิลด์จำกัดของอันดับจำนวนเฉพาะ p ซึ่งเขียนได้เป็น F_p โดย p = 2^256 – 2^32 – 2^9 – 2^8 – 2^7 – 2^6 – 2^4 – 1 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่ามหาศาล
บิตคอยน์ใช้เส้นโค้งวงรีที่ถูกนิยามบนฟิลด์จำกัดของอันดับจำนวนเฉพาะแทนที่จะอยู่บนจำนวนจริง ทำให้มันมีลักษณะเหมือนรูปแบบของจุดที่กระจัดกระจายในสองมิติ ซึ่งทำให้ยากต่อการจินตนาการภาพ อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ที่ใช้นั้นเหมือนกับเส้นโค้งวงรีบนจำนวนจริง
ตัวอย่างเช่น การเข้ารหัสลับด้วยเส้นโค้งวงรี: การแสดงภาพเส้นโค้งวงรีบน F(p) โดยที่ p=17 แสดงเส้นโค้งวงรีเดียวกันบนฟิลด์จำกัดของอันดับจำนวนเฉพาะ 17 ที่มีขนาดเล็กกว่ามาก ซึ่งแสดงรูปแบบของจุดบนตาราง
เส้นโค้งวงรี secp256k1 ที่ใช้ในบิตคอยน์สามารถนึกถึงได้ว่าเป็นรูปแบบของจุดที่ซับซ้อนมากกว่าบนตารางที่มีขนาดใหญ่มหาศาลจนยากจะเข้าใจได้
ตัวอย่างเช่น จุด P ที่มีพิกัด (x, y) ต่อไปนี้เป็นจุดที่อยู่บนเส้นโค้ง secp256k1:
```
P =
(55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240,
32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424)
```
เราสามารถใช้ Python เพื่อยืนยันว่าจุดนี้อยู่บนเส้นโค้งวงรีได้ตามตัวอย่างนี้:
ตัวอย่างที่ 1: การใช้ Python เพื่อยืนยันว่าจุดนี้อยู่บนเส้นโค้งวงรี
```
Python 3.10.6 (main, Nov 14 2022, 16:10:14) [GCC 11.3.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
> p = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663
> x = 55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240
> y = 32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424
> (x ** 3 + 7 - y**2) % p
0
```
ผลลัพธ์เป็น 0 ซึ่งแสดงว่าจุดนี้อยู่บนเส้นโค้งวงรีจริง เพราะเมื่อแทนค่า x และ y ลงในสมการ y² = (x³ + 7) mod p แล้ว ทั้งสองด้านของสมการมีค่าเท่ากัน
ในคณิตศาสตร์ของเส้นโค้งวงรี มีจุดที่เรียกว่า "จุดที่อนันต์" (point at infinity) ซึ่งมีบทบาทคล้ายกับศูนย์ในการบวก บนคอมพิวเตอร์ บางครั้งจุดนี้แทนด้วย x = y = 0 (ซึ่งไม่เป็นไปตามสมการเส้นโค้งวงรี แต่เป็นกรณีพิเศษที่สามารถตรวจสอบได้ง่าย)
มีตัวดำเนินการ + ที่เรียกว่า "การบวก" ซึ่งมีคุณสมบัติคล้ายกับการบวกแบบดั้งเดิมของจำนวนจริงที่เด็กๆ เรียนในโรงเรียน เมื่อมีจุดสองจุด P1 และ P2 บนเส้นโค้งวงรี จะมีจุดที่สาม P3 = P1 + P2 ซึ่งอยู่บนเส้นโค้งวงรีเช่นกัน
ในเชิงเรขาคณิต จุดที่สาม P3 นี้คำนวณได้โดยการลากเส้นระหว่าง P1 และ P2 เส้นนี้จะตัดกับเส้นโค้งวงรีที่จุดเพิ่มเติมอีกหนึ่งจุดพอดี เรียกจุดนี้ว่า P3' = (x, y) จากนั้นให้สะท้อนกับแกน x เพื่อได้ P3 = (x, -y)
มีกรณีพิเศษบางกรณีที่อธิบายความจำเป็นของ "จุดที่อนันต์":
1. ถ้า P1 และ P2 เป็นจุดเดียวกัน เส้น "ระหว่าง" P1 และ P2 ควรขยายเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด P1 นี้ เส้นสัมผัสนี้จะตัดกับเส้นโค้งที่จุดใหม่อีกหนึ่งจุดพอดี คุณสามารถใช้เทคนิคจากแคลคูลัสเพื่อหาความชันของเส้นสัมผัส เทคนิคเหล่านี้ใช้ได้อย่างน่าแปลกใจ แม้ว่าเราจะจำกัดความสนใจไว้ที่จุดบนเส้นโค้งที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น!
2. ในบางกรณี (เช่น ถ้า P1 และ P2 มีค่า x เดียวกันแต่ค่า y ต่างกัน) เส้นสัมผัสจะตั้งฉากพอดี ซึ่งในกรณีนี้ P3 = "จุดที่อนันต์"
3. ถ้า P1 เป็น "จุดที่อนันต์" แล้ว P1 + P2 = P2 ในทำนองเดียวกัน ถ้า P2 เป็นจุดที่อนันต์ แล้ว P1 + P2 = P1 นี่แสดงให้เห็นว่าจุดที่อนันต์มีบทบาทเป็นศูนย์
การบวกนี้มีคุณสมบัติเชิงสมาคม (associative) ซึ่งหมายความว่า (A + B) + C = A + (B + C) นั่นหมายความว่าเราสามารถเขียน A + B + C โดยไม่ต้องมีวงเล็บและไม่มีความกำกวม
เมื่อเรานิยามการบวกแล้ว เราสามารถนิยามการคูณในแบบมาตรฐานที่ต่อยอดจากการบวก สำหรับจุด P บนเส้นโค้งวงรี ถ้า k เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว kP = P + P + P + … + P (k ครั้ง) โปรดทราบว่า k บางครั้งถูกเรียกว่า "เลขชี้กำลัง"
Public Keys
ในระบบคริปโตกราฟีแบบเส้นโค้งวงรี (Elliptic Curve Cryptography) public key ถูกคำนวณจาก private key โดยใช้การคูณเส้นโค้งวงรี ซึ่งเป็นกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้:
K = k × G
โดยที่:
- k คือ private key
- G คือจุดคงที่ที่เรียกว่า จุดกำเนิด (generator point)
- K คือ public key
การดำเนินการย้อนกลับ ที่เรียกว่า "การหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่อง" (finding the discrete logarithm) - คือการคำนวณหา k เมื่อรู้ค่า K - เป็นสิ่งที่ยากมากเทียบเท่ากับการลองค่า k ทุกค่าที่เป็นไปได้ (วิธีการแบบ brute-force)
ความยากของการย้อนกลับนี้คือหลักการความปลอดภัยหลักของระบบ ECC ที่ใช้ในบิตคอยน์ ซึ่งทำให้สามารถเผยแพร่ public key ได้อย่างปลอดภัย โดยที่ไม่ต้องกังวลว่าจะมีใครสามารถคำนวณย้อนกลับเพื่อหา private key ได้
TIP:การคูณเส้นโค้งวงรีเป็นฟังก์ชันประเภทที่นักเข้ารหัสลับเรียกว่า “ trap door function ”:
- เป็นสิ่งที่ทำได้ง่ายในทิศทางหนึ่ง
- แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะทำในทิศทางตรงกันข้าม
คนที่มี private key สามารถสร้าง public key ได้อย่างง่ายดาย และสามารถแบ่งปันกับโลกได้โดยรู้ว่าไม่มีใครสามารถย้อนกลับฟังก์ชันและคำนวณ private key จาก public key ได้ กลวิธีทางคณิตศาสตร์นี้กลายเป็นพื้นฐานสำหรับลายเซ็นดิจิทัลที่ปลอมแปลงไม่ได้และมีความปลอดภัย ซึ่งใช้พิสูจน์การควบคุมเงินบิตคอยน์
เริ่มต้นด้วยการใช้ private key ในรูปแบบของตัวเลขสุ่ม เราคูณมันด้วยจุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้าบนเส้นโค้งที่เรียกว่า จุดกำเนิด (generator point) เพื่อสร้างจุดอื่นที่อยู่บนเส้นโค้งเดียวกัน ซึ่งคำตอบจะเป็น public key ที่สอดคล้องกัน จุดกำเนิดถูกกำหนดไว้เป็นส่วนหนึ่งของมาตรฐาน secp256k1 และเป็นค่าเดียวกันสำหรับกุญแจทั้งหมดในระบบบิตคอยน์
เนื่องจากจุดกำเนิด G เป็นค่าเดียวกันสำหรับผู้ใช้บิตคอยน์ทุกคน private key (k) ที่คูณกับ G จะได้ public key (K) เดียวกันเสมอ ความสัมพันธ์ระหว่าง k และ K เป็นแบบตายตัวแต่สามารถคำนวณได้ในทิศทางเดียวเท่านั้น คือจาก k ไปยัง K นี่คือเหตุผลที่ public key ของบิตคอยน์ (K) สามารถแบ่งปันกับทุกคนได้โดยไม่เปิดเผย private key (k) ของผู้ใช้
TIP: private key สามารถแปลงเป็น public key ได้ แต่ public key ไม่สามารถแปลงกลับเป็น private key ได้ เพราะคณิตศาสตร์ที่ใช้ทำงานได้เพียงทิศทางเดียวเท่านั้น
เมื่อนำการคูณเส้นโค้งวงรีมาใช้งาน เราจะนำ private key (k) ที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้มาคูณกับจุดกำเนิด G เพื่อหา public key (K):
```
K = 1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD × G
```
public key (K) จะถูกกำหนดเป็นจุด K = (x, y) โดยที่:
```
x = F028892BAD7ED57D2FB57BF33081D5CFCF6F9ED3D3D7F159C2E2FFF579DC341A
y = 07CF33DA18BD734C600B96A72BBC4749D5141C90EC8AC328AE52DDFE2E505BDB
```
เพื่อจะให้เห็นภาพของการคูณจุดด้วยจำนวนเต็มมากขึ้น เราจะใช้เส้นโค้งวงรีที่ง่ายกว่าบนจำนวนจริง (โดยหลักการทางคณิตศาสตร์ยังคงเหมือนกัน) เป้าหมายของเราคือการหาผลคูณ kG ของจุดกำเนิด G ซึ่งเทียบเท่ากับการบวก G เข้ากับตัวเอง k ครั้งติดต่อกัน
ในเส้นโค้งวงรี การบวกจุดเข้ากับตัวเองเทียบเท่ากับการลากเส้นสัมผัสที่จุดนั้นและหาว่าเส้นนั้นตัดกับเส้นโค้งอีกครั้งที่จุดใด จากนั้นจึงสะท้อนจุดนั้นบนแกน x
การเข้ารหัสลับด้วยเส้นโค้งวงรี: การแสดงภาพการคูณจุด G ด้วยจำนวนเต็ม k บนเส้นโค้งวงรี แสดงกระบวนการในการหา G, 2G, 4G เป็นการดำเนินการทางเรขาคณิตบนเส้นโค้งได้ดังนี้
TIP: ในซอฟแวร์ของบิตคอยน์ส่วนใหญ่ใช้ไลบรารีเข้ารหัสลับ libsecp256k1 เพื่อทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์เส้นโค้งวงรี
#siamstr #righttech
อยากแชร์ไปให้คนที่ไม่ได้อยู่บน Nostr อ่านอย่างงั้นเหรอ !?!?!?!? งั้นทางเราขอแนะนำ: https://learnbn.npub.pro/